數
學
K
單元
概率
K1
隨事件的概率
13
.
[2014·
新課標全國卷Ⅱ
]
甲、乙兩名運動員各自等可能地從紅、白、藍
3
種顏色的
運動服中選擇
1
種,則他們選擇相同顏色運動服的概率為
________
.
13.
1
3
[
解析
]
甲有
3
種選法,乙也有
3
種選法,所以他們共有
9
種不同的選法.若他
們選擇同一種顏色,則有
3
種選法,所以其對應的概率
P
=
3
9
=
1
3
.
13
.
[2014·
全國新課標卷Ⅰ
]
將
2
本不同的數學書和
1
本語文書在書架上隨機排成一行,
則
2
本數學書相鄰的概率為
________
.
13.
2
3
[
解析
] 2
本數學書記為數
1
,數
2
,
3
本書共有
(
數
1
數
2
語
)
,
(
數
1
語數
2)
,
(
數
2
數
1
語
)
,
(
數
2
語數
1)
,
(
語數
1
數
2)
,
(
語數
2
數
1)6
種不同的排法,其中
2
本數學書相鄰
的排法有
4
種,對應的概率為
P
=
4
6
=
2
3
.
14
.
[2014·
浙江卷
]
在
3
張獎券中有一、二等獎各
1
張,另
1
張無獎.甲、乙兩人各抽
取
1
張,兩人都中獎的概率是
________
.
14.
1
3
[
解析
]
基本事件的總數為
3
×
2
=
6
,甲、乙兩人各抽取一張獎券,兩人都中獎只
有
2
種情況,所以兩人都中獎的概率
P
=
2
6
=
1
3
.
19
.
[2014·
陜西卷
]
某保險公司利用簡單隨機抽樣方法,對投保車輛進行抽樣,樣本車
輛中每輛車的賠付結果統計如下:
賠付金額
(
元
)
0
1000
2000
3000
4000
車輛數
(
輛
)
500
130
100
150
120
(1)
若每輛車的投保金額均為
2800
元,估計賠付金額大于投保金額的概率;
(2)
在樣本車輛中,車主是新司機的占
10%
,在賠付金額為
4000
元的樣本車輛中,車主
是新司機的占
20%
,估計在已投保車輛中,新司機獲賠金額為
4000
元的概率.
19
.
解:
(1)
設
A
表示事件“賠付金額為
3000
元”,
B
表示事件“賠付金額為
4000
元”,
以頻率估計概率得
P
(
A
)
=
150
1000
=
0.15
,
P
(
B
)
=
120
1000
=
0.12.
由于投保金額為
2800
元,所以賠付金額大于投保金額的概率為
P
(
A
)
+
P
(
B
)
=
0.15
+
0.12
=
0.27.
(2)
設
C
表示事件“投保車輛中新司機獲賠
4000
元”,
由已知,
得樣本車輛中車主為新
司機的有
0.1
×
1000
=
100(
輛
)
,
而賠付金額為
4000
元的車輛中,
車主為新司機的有
0.2
×
120
=
24(
輛
)
,所以樣本車輛中新司機車主獲賠金額為
4000
元的頻率為
24
100
=
0.24.
由頻率估計概
率得
P
(
C
)
=
0.24.
16
.
、
[2014·
四川卷
]
一個盒子里裝有三張卡片,分別標記有數字
1
,
2
,
3
,這三張卡片
除標記的數字外完全相同.
隨機有放回地抽取
3
次,
每次抽取
1
張,
將抽取的卡片上的數字
依次記為
a
,
b
,
c
.
(1)
求“抽取的卡片上的數字滿足
a
+
b
=
c
”的概率;
(2)
求“抽取的卡片上的數字
a
,
b
,
c
不完全相同”的概率.
16
.
解:
(1)
由題意,
(
a
,
b
,
c
)
所有的可能為:
(1
,
1
,
1)
,
(1
,
1
,
2)
,
(1
,
1
,
3)
,
(1
,
2
,
1)
,
(1
,
2
,
2)
,
(1
,
2
,
3)
,
(1
,
3
,
1)
,
(1
,
3
,
2)
,
(1
,
3
,
3)
,
(2
,
1
,
1)
,
(2
,
1
,
2)
,
(2
,
1
,
3)
,
(2
,
2
,
1)
,
(2
,
2
,
2)
,
(2
,
2
,
3)
,
(2
,
3
,
1)
,
(2
,
3
,
2)
,
(2
,
3
,
3)
,
(3
,
1
,
1)
,
(3
,
1
,
2)
,
(3
,
1
,
3)
,
(3
,
2
,
1)
,
(3
,
2
,
2)
,
(3
,
2
,
3)
,
(3
,
3
,
1)
,
(3
,
3
,
2)
,
(3
,
3
,
3)
,共
27
種.
設“抽取的卡片上的數字滿足
a
+
b
=
c
”為事件
A
,
則事件
A
包括
(1
,
1
,
2)
,
(1
,
2
,
3)
,
(2
,
1
,
3)
,共
3
種,
所以
P
(
A
)
=
3
27
=
1
9
.
因此,“抽取的卡片上的數字滿足
a
+
b
=
c
”的概率為
1
9
.
(2)
設“抽取的卡片上的數字
a
,
b
,
c
不完全相同”為事件
B
,
則事件
B
包括
(1
,
1
,
1)
,
(2
,
2
,
2)
,
(3
,
3
,
3)
,共
3
種.
所以
P
(
B
)
=
1
-
P
(
B
)
=
1
-
3
27
=
8
9
.
因此,“抽取的卡片上的數字
a
,
b
,
c
不完全相同”的概率為
8
9
.
K2
古典概型
20
.
,
[2014·
福建卷
]
根據世行
2013
年新標準,
人均
GDP
低于
1035
美元為低收入國家;
人均
GDP
為
1035
~
4085
美元為中等偏下收入國家;
人均
GDP
為
4085
~
12 616
美元為中等
偏上收入國家;人均
GDP
不低于
12 616
美元為高收入國家.某城市有
5
個行政區,各區人
口占該城市人口比例及人均
GDP
如下表:
行政區
區人口占城市人口比例
區人均
GDP(
單位:美元
)
A
25%
8000
B
30%
4000
C
15%
6000
D
10%
3000
E
20%
10 000
(1)
判斷該城市人均
GDP
是否達到中等偏上收入國家標準;
(2)
現從該城市
5
個行政區中隨機抽取
2
個,求抽到的
2
個行政區人均
GDP
都達到中等
偏上收入國家標準的概率.
20
.
解:
(1)
設該城市人口總數為
a
,則該城市人均
GDP
為
8000
×
0.25
a
+
4000
×
0.30
a
+
6000
×
0.15
a
+
3000
×
0.10
a
+
10 000
×
0.20
a
a
=
6400(
美元
)
.
因為
6400
∈
[4085
,
12 616)
,
所以該城市人均
GDP
達到了中等偏上收入國家標準.
(2)
“從
5
個行政區中隨機抽取
2
個”的所有的基本事件是:
{A
,
B}
,
{A
,
C}
,
{A
,
D}
,
{A
,
E}
,
{B
,
C}
,
{B
,
D}
,
{B
,
E}
,
{C
,
D}
,
{C
,
E}
,
{D
,
E}
,共
10
個.