數

學

K

單元

概率

K1 

隨事件的概率

13

．

[2014·

新課標全國卷Ⅱ

] 

甲、乙兩名運動員各自等可能地從紅、白、藍

3

種顏色的

運動服中選擇

1

種，則他們選擇相同顏色運動服的概率為

________

．

13.

1

3

[

解析

] 

甲有

3

種選法，乙也有

3

種選法，所以他們共有

9

種不同的選法．若他

們選擇同一種顏色，則有

3

種選法，所以其對應的概率

P

＝

3

9

＝

1

3

. 

13

．

[2014·

全國新課標卷Ⅰ

] 

將

2

本不同的數學書和

1

本語文書在書架上隨機排成一行，

則

2

本數學書相鄰的概率為

________

．

13.

2

3

[

解析

] 2

本數學書記為數

1

，數

2

，

3

本書共有

(

數

1

數

2

語

)

，

(

數

1

語數

2)

，

(

數

2

數

1

語

)

，

(

數

2

語數

1)

，

(

語數

1

數

2)

，

(

語數

2

數

1)6

種不同的排法，其中

2

本數學書相鄰

的排法有

4

種，對應的概率為

P

＝

4

6

＝

2

3

. 

14

．

[2014·

浙江卷

] 

在

3

張獎券中有一、二等獎各

1

張，另

1

張無獎．甲、乙兩人各抽

取

1

張，兩人都中獎的概率是

________

．

14.

1

3

[

解析

] 

基本事件的總數為

3

×

2

＝

6

，甲、乙兩人各抽取一張獎券，兩人都中獎只

有

2

種情況，所以兩人都中獎的概率

P

＝

2

6

＝

1

3

. 

19

．

[2014·

陜西卷

] 

某保險公司利用簡單隨機抽樣方法，對投保車輛進行抽樣，樣本車

輛中每輛車的賠付結果統計如下：

賠付金額

(

元

)

0

1000

2000

3000

4000 

車輛數

(

輛

)

500

130

100

150

120 

(1)

若每輛車的投保金額均為

2800

元，估計賠付金額大于投保金額的概率；

(2)

在樣本車輛中，車主是新司機的占

10%

，在賠付金額為

4000

元的樣本車輛中，車主

是新司機的占

20%

，估計在已投保車輛中，新司機獲賠金額為

4000

元的概率．

19

．

解：

(1)

設

A

表示事件“賠付金額為

3000

元”，

B

表示事件“賠付金額為

4000

元”，

以頻率估計概率得

P

(

A

)

＝

150

1000

＝

0.15

，

P

(

B

)

＝

120

1000

＝

0.12. 

由于投保金額為

2800

元，所以賠付金額大于投保金額的概率為

P

(

A

)

＋

P

(

B

)

＝

0.15

＋

0.12

＝

0.27. 

(2)

設

C

表示事件“投保車輛中新司機獲賠

4000

元”，

由已知，

得樣本車輛中車主為新

司機的有

0.1

×

1000

＝

100(

輛

)

，

而賠付金額為

4000

元的車輛中，

車主為新司機的有

0.2

×

120

＝

24(

輛

)

，所以樣本車輛中新司機車主獲賠金額為

4000

元的頻率為

24

100

＝

0.24.

由頻率估計概

率得

P

(

C

)

＝

0.24. 

16

．

、

[2014·

四川卷

] 

一個盒子里裝有三張卡片，分別標記有數字

1

，

2

，

3

，這三張卡片

除標記的數字外完全相同．

隨機有放回地抽取

3

次，

每次抽取

1

張，

將抽取的卡片上的數字

依次記為

a

，

b

，

c

. 

(1)

求“抽取的卡片上的數字滿足

a

＋

b

＝

c

”的概率；

(2)

求“抽取的卡片上的數字

a

，

b

，

c

不完全相同”的概率．

16

．

解：

(1)

由題意，

(

a

，

b

，

c

)

所有的可能為：

(1

，

1

，

1)

，

(1

，

1

，

2)

，

(1

，

1

，

3)

，

(1

，

2

，

1)

，

(1

，

2

，

2)

，

(1

，

2

，

3)

，

(1

，

3

，

1)

，

(1

，

3

，

2)

，

(1

，

3

，

3)

，

(2

，

1

，

1)

，

(2

，

1

，

2)

，

(2

，

1

，

3)

，

(2

，

2

，

1)

，

(2

，

2

，

2)

，

(2

，

2

，

3)

，

(2

，

3

，

1)

，

(2

，

3

，

2)

，

(2

，

3

，

3)

，

(3

，

1

，

1)

，

(3

，

1

，

2)

，

(3

，

1

，

3)

，

(3

，

2

，

1)

，

(3

，

2

，

2)

，

(3

，

2

，

3)

，

(3

，

3

，

1)

，

(3

，

3

，

2)

，

(3

，

3

，

3)

，共

27

種．

設“抽取的卡片上的數字滿足

a

＋

b

＝

c

”為事件

A

，

則事件

A

包括

(1

，

1

，

2)

，

(1

，

2

，

3)

，

(2

，

1

，

3)

，共

3

種，

所以

P

(

A

)

＝

3

27

＝

1

9

. 

因此，“抽取的卡片上的數字滿足

a

＋

b

＝

c

”的概率為

1

9

. 

(2)

設“抽取的卡片上的數字

a

，

b

，

c

不完全相同”為事件

B

，

則事件

B

包括

(1

，

1

，

1)

，

(2

，

2

，

2)

，

(3

，

3

，

3)

，共

3

種．

所以

P

(

B

)

＝

1

－

P

(

B

)

＝

1

－

3

27

＝

8

9

. 

因此，“抽取的卡片上的數字

a

，

b

，

c

不完全相同”的概率為

8

9

. 

K2 

古典概型

20

．

，

[2014·

福建卷

] 

根據世行

2013

年新標準，

人均

GDP

低于

1035

美元為低收入國家；

人均

GDP

為

1035

～

4085

美元為中等偏下收入國家；

人均

GDP

為

4085

～

12 616

美元為中等

偏上收入國家；人均

GDP

不低于

12 616

美元為高收入國家．某城市有

5

個行政區，各區人

口占該城市人口比例及人均

GDP

如下表：

行政區

區人口占城市人口比例

區人均

GDP(

單位：美元

) 

A

25%

8000 

B

30%

4000 

C

15%

6000 

D

10%

3000 

E

20%

10 000 

(1)

判斷該城市人均

GDP

是否達到中等偏上收入國家標準；

(2)

現從該城市

5

個行政區中隨機抽取

2

個，求抽到的

2

個行政區人均

GDP

都達到中等

偏上收入國家標準的概率．

20

．

解：

(1)

設該城市人口總數為

a

，則該城市人均

GDP

為

8000

×

0.25

a

＋

4000

×

0.30

a

＋

6000

×

0.15

a

＋

3000

×

0.10

a

＋

10 000

×

0.20

a

a

＝

6400(

美元

)

．

因為

6400

∈

[4085

，

12 616)

，

所以該城市人均

GDP

達到了中等偏上收入國家標準．

(2)

“從

5

個行政區中隨機抽取

2

個”的所有的基本事件是：

{A

，

B}

，

{A

，

C}

，

{A

，

D}

，

{A

，

E}

，

{B

，

C}

，

{B

，

D}

，

{B

，

E}

，

{C

，

D}

，

{C

，

E}

，

{D

，

E}

，共

10

個．